Luulin, että näytteenotto kaksinkertaisella signaalin korkeimmalla taajuuskomponentilla olisi riittävä signaalin palauttamiseksi kokonaan. Mutta sen yläpuolella sanotaan, että näytteenotto kahdesti luo sahamaisen kaltaisen aallon. Onko kirja väärä?

Kirja on väärä, mutta ei mielestäsi syystä. Jos kutistat näytteitä osoittaville pisteille, se ottaa näytteitä kaksinkertaisella tahdilla.

Ensin sinun on siis piirrettävä joitain signaaleja ja näytettävä ne itse (tai käytettävä matematiikkapakettia, jos et halua lyijykynää ja paperia).

Toiseksi Nyquist-lause sanoo, että signaali on teoreettisesti mahdollista rekonstruoida, jos jo tiedät , että signaalin sisällön spektri on tiukasti vähemmän yli 1/2 näytteenottotaajuutta.

Muodostat signaalin alipäästösuodatuksella. Ennen suodatusta signaali voi olla vääristynyt, joten sinun on tiedettävä, mitä katsot nähdäksesi, että tulos saattaa näyttää hyvältä. Lisäksi mitä lähempänä signaalisisällön spektri on Nyquist-rajaa, sitä terävämmän raja-arvon on oltava anti-alias- ja rekonstruointisuodattimissasi. Tämä on teoriassa hieno, mutta käytännössä suodattimen vaste aikatasossa pidentyy karkeasti suhteessa siihen, kuinka jyrkästi se siirtyy päästökaistalta pysäytyskaistalle. Joten yleensä, jos voit, voit maistella selvästi Nyquistin yläpuolella.

Tässä on kuva, joka liittyy siihen, mitä kirjasi olisi pitänyt sanoa.

Tapaus A: yksi näyte jaksoa kohti (näytteet ovat ilmeisiä)

Tapaus B: kaksi näytettä sykliä kohden, laskeutumassa risteyksille - huomaa, että tämä on sama tulos kuin yksi näyte jaksoa kohden, mutta vain siksi, että otin ensimmäisen näytteen risteyksistä .

Tapaus C: Jälleen kaksi näytettä sykliä kohti, mutta tällä kertaa äärimmäisissä kohdissa.Jos otat täsmälleen kaksinkertaisen signaalikomponentin taajuuteen, et voi rekonstruoida.Teoriassa voit ottaa näytteen niin vähän matalammalta, mutta tarvitset suodattimen, jolla on impulssivaste, joka ulottuu tarpeeksi tuloksesta, jotta voit rekonstruoida.

Tapaus D: Näytteenotto nelinkertaisella signaalitaajuudella.Jos yhdistät pisteet, saat kolmion aallon, mutta se ei ole oikein tehdä niin - näytteellisenä aikana näytteet ovat vain "pisteissä".Huomaa, että jos laitat tämän kunnollisen rekonstruointisuodattimen läpi, saat siniaallon takaisin, ja , jos muutat näytteenoton vaihetta, lähtö siirtyy tasaisesti vaiheittain, mutta sen amplitudi ei muutu.

Kuva B on erittäin väärä. Se sisältää erittäin terävät kulmat lähtösignaalissa. Hyvin terävät kulmat vastaavat hyvin korkeita taajuuksia, paljon korkeammat kuin näytetaajuus.

Nyquist-näytelauseiden täyttämiseksi sinun on alipäästösuodatettava rekonstruoitu signaali. Alipäästösuodatuksen jälkeen signaali B näyttäisi tulosignaalilta, ei kuin kolmiolta (koska kaikki terävät kulmat eivät voi ohittaa alipäästösuodatinta).

Ollaksesi tarkka, sinun on alitettava sekä tulosignaali että lähtösignaali. Tulosignaali on suodatettava alipäästösuodattimella enintään puoleen näytetaajuudesta, jotta ei "taiteta" korkeampia taajuuksia.

Valitettavasti se on yleinen väärä kuvaus näytteenoton toiminnasta. Oikeampi kuvaus käyttää sinc-funktiota rekonstruointiin (suosittelen sinc-funktion hakua).

Todellisessa maailmassa on mahdotonta saada "täydellistä" alipäästösuodatinta (ohittaa kaikki alla olevat taajuudet ja estää kaikki yllä olevat). Tämä tarkoittaa, että otat normaalisti näytteenottotaajuuden, joka on vähintään 2,2 kertaa enimmäistaajuus, jonka haluat toistaa (esimerkki: CD-laatu näytteillä 44,1 kHz, jotta 20 kHz: n enimmäistaajuus voidaan sallia). Jopa tämä ero vaikeuttaisi analogisten suodattimien luomista - useimmat reaalimaailman sovellukset "ylimerkitsevät" samoin kuin alipäästösuodatin osittain digitaalisella alueella.

Näytteenottolauseessa todetaan, että signaali voidaan rekonstruoida täydellisesti, jos näytteenottotaajuus on ehdottomasti suurempi kuin signaalin korkein taajuussisältö.Mutta tämä rekonstruktio perustuu (ääretön) sinc-pulssin lisäämiseen kuhunkin näytteeseen.Teoreettiselta kannalta tämä on erittäin tärkeä tulos, mutta käytännössä mahdotonta saavuttaa tarkalleen.Kirjasivulla on rekonstruointimenetelmä, joka perustuu suorien viivojen piirtämiseen näytteiden välille, mikä on jotain aivan muuta.Joten sanoisin, että kirja on oikea, mutta sillä ei ole mitään tekemistä näytelauseen kanssa.

Erittäin mukava yleiskatsaus on Unser: Sampling - 50 vuotta Shannonin jälkeen . Ongelmasi johtuu siitä, että puhtaat, äärettömät sinisignaalit eivät kuulu Shannonin näytteenottolauseen piiriin. Jaksollisten signaalien sovellettava lause on aikaisempi Nyquist-näytteenottolause.

Shannon-näytteenottolause koskee toimintoja, jotka voidaan esittää nimellä

\ $ x (t) = \ int \ rajoittaa _ {- W} ^ WX (f) e ^ {i2 \ pi ft} \, df \ $

jossa X on neliöön integroitava funktio. Sitten tämä signaali voidaan esittää tarkasti erillisistä näytteistä kuten

\ $ x (t) = \ summa \ rajoitukset_ {k = - \ infty} ^ \ infty x (k \ frac {T} 2) \ frac {\ sin (\ pi W (tk \ frac {T} 2))} { \ pi W (tk \ frac {T} 2)} \ $

\ $ T = \ frac1 {W} \ $ "ajanjaksolla". Huomaa, että täydellinen jälleenrakennus riippuu mielivaltaisesti suurista ajoista tulevaisuudessa ja menneisyydessä. Koska niiden vaikutus laskee vain nimellä \ $ \ frac1t \ $ , summan lyhentämiseen on sisällytettävä melko suuri määrä termejä virheiden vähentämiseksi.

Puhdas sinifunktio ei sisälly tähän luokkaan, koska sen Fourier-muunnos koostuu Dirac-delta-jakaumista.

Aikaisempi Nyquist-näytteenottolause toteaa (tai tulkitsee aikaisemman oivalluksen uudelleen), että jos signaali on jaksollinen jaksolla T ja korkeimmalla taajuudella W = N / T , silloin se on trigonometrinen polynomi

\ $ x (t) = \ summa \ rajoitukset_ {n = -N} ^ NX_ne ^ {i2 \ pi \ frac {n} {T} t} \ $

2N + 1 (ei-triviaali) kertoimilla ja nämä kertoimet voidaan rekonstruoida (lineaarisella algebralla) jakson 2N + 1 näytteistä.

Puhtaan sinifunktion tapaus kuuluu tähän luokkaan. Se lupaa täydellisen jälleenrakennuksen, jos 2N + 1 näytteet otetaan tietyn ajan kuluessa NT .

Kirjassa jaetuissa ei ole sanottu mitään "Nyquist Sampling Criterionista" - puhutaan vain siniaalteen pistenäytteistämisestä hypoteettisen ADC: n kanssa ja sitten (implisiittisesti) muodostetaan lähtösignaali (ei mainittu) yksinkertaisella DAC: lla, joka suorittaa lineaarisen interpolaation näytearvojen välillä.

Ottaen huomioon tämän kontekstin 'KUVA 6.10' -tutkielma on yleensä oikea ja osoitettu hyvin.

ADC: n näytetaajuuden kasvaessa digitalisoidun signaalin tarkkuus paranee.

Jos haluat puhua idealisoidun jälleenrakennuksen uskollisuudesta, se on täysin eri asia. Kaikki keskustelut Nyquist-nopeudesta merkitsevät sinc-interpoloinnin käyttöä, jota taas ei mainita kuvassa.

Tämän kuvan todellinen virhe on ajatus siitä, että piste-näyte on mielekäs käsite suunnittelussa. Käytännössä ADC kytketään anturikomponenttiin, joka toimii keräämällä reaalimaailman tulosignaalia jonkin aikaa.

On kuitenkin hauskaa, että luku on ilmeisesti väärä (poispäin kahdella kertoimella) kaavioissa näytetyistä näytetaajuuksista - vaikka tämä vaikuttaa vain esitettyyn "lähtöön" tapauksessa 'C'.

Edellä mainitun lausunnon avulla löysin hirvittävän samanlaisen kaavion aiheesta "A Practical Approach to Neurophysiologic Intraoperative Monitoring" keskustelussa EEG-aaltomuodon prosessoinnista. Sen arvoiseksi, keskustelu sisältää seuraavat:

Lause, joka kuvaa vähimmäisnäytetaajuuden, joka vaaditaan ADC: n edustamaan uskollisesti analogista signaalia, tunnetaan nimellä Nyquist-lause. Siinä todetaan, että ADC: n näytteenottotaajuuden on oltava yli kaksinkertainen aaltomuodon nopeimmalla taajuuskomponentilla.