Motivaatio on itse asiassa melko yksinkertainen.

Kun sinulla on lineaarinen piiri ja stimuloit sitä vain yhdellä taajuudella, mistä tahansa katsotkin, löydät aina saman taajuuden, vain amplitudin ja mittaamasi aallon vaihe muuttuu.

Mitä sitten teet, on sanoa, että unohdetaan taajuus, jos seuraan piirin ympärillä olevien jännitteiden ja / tai virtojen amplitudia ja vaihetta, se on enemmän kuin tarpeeksi . Mutta miten voit tehdä sen? Eikö ole mitään matemaattista työkalua, jonka avulla voit seurata amplitudia ja vaihetta? Joo, sinulla on se: vektorit. Vektorilla on amplitudi, toisin sanoen sen pituus, ja vaihe, eli kulma, jonka se muodostaa x-akselin kanssa, ccw-suunta on positiivinen.

Nyt voit vastustaa ok-vektoreita ovat viileitä, mutta ei onko mitään viileämpää? Ja miksi meidän on käytettävä kuvitteellista yksikköä?

Vastaus toiseen kysymykseen on helppoa: laskujen tekeminen vektoreilla on melko tuskaa, merkintäkipua:

$$ \ pmatrix {2 \\ 3} + \ pmatrix {1 \\ 7} = \ pmatrix {3 \\ 10} $$

Ja se on yksinään lisäys! No, se on vain merkintäongelma, jos valitsemme toisen perustan \ $ \ mathbb {R} ^ 2 \ $, asiat voivat olla parempia ... Ja tämä pohja sattuu olemaan, mutta vaatii kuvitteellisen yksikön \ $ j \ $. Edellisestä sotkusta tulee: $$ 2 + 3j + 1 + 7j = 3 + 10j $$ Paljon helpompaa, eikö olekin?

Ok, mutta mitä on yhteistä kuvitteelliselle vektorille jännitteen kanssa? Yritä kuvitella Gaussin tasoa, x-akseli on todellinen akseli, y-akseli on kuvitteellinen.

Jännite voidaan esittää vektorilla, joka on keskitetty origoon, sen pituus on yhtä suuri kuin jännitteen arvo, sen aloituskulma on yhtä suuri kuin vaihe. Nyt taika temppu: ala pyörittää vektoria siten, että sen kulmanopeus \ $ \ omega \ $ vastaa haluttua taajuutta:

Bam. Sitä me kutsumme vaihtajaksi, ja tuo pieni kaveri on vahvin ase sinulla kovia piirejä vastaan.

Miksi nämä vaiheet ovat siis erityisiä? Tämä johtuu siitä, että jos otat kaksi todellista jännitettä: $$ v_1 (t) = V_1 \ cos (2 \ pi f_0t + \ theta_1) \\ v_2 (t) = V_2 \ cos (2 \ pi f_0t + \ theta_2) $$ ja haluat summata ne, tapahtuu, että jos summataan vastaavat vaiheet ja palaa sitten takaisin todelliseen verkkotunnukseen tulos on sama . Tämä ei tietenkään ole taikuutta, se riippuu kosinusoidien ja kompleksisen eksponentiaalisen matemaattisesta affiniteetista. Usko vain minua tai usko tätä upeaa kuvaa:

Ja parasta on, että kaikki todellinen piirianalyysi, jonka olet tutkinut nyt jatkaa työskentelyä vaihtajien ja monimutkaisten impedanssien kanssa. Toisin sanoen: Ohmin laki koskee vaiheittajia ja monimutkaisia ​​impedansseja , ja se on hienoa, koska meillä on paljon työkaluja Ohmin ja Kirchhoffin lakeihin perustuvien piirien ratkaisemiseksi, ja voimme silti käyttää niitä.

Johtajien ottaminen / integrointi on myös erittäin helppoa: kuten tiedätte, koska puhumme sinistä ja kosinista kaikki samalla taajuudella , kyseessä on vain vaihesiirto, ja se-yllätys- on hyvin selvä, jos käytät monimutkaista eksponentiaalista esitystä.

TL; DR: Sinusoidit on esitetty pyörivinä vektoreina napatasossa, se on melkein kuin pysäytysaika, kun ne pyörivät ja ottavat kuva eli lasketaan vaihe- ja amplitudisuhteet. Katso vain wikipedian phasor -sivu. Ja tarkista tämä myös muut suppeammat vastaukset.

Lainaus: "Onko pienten analysoinnin helpottaminen pelkästään matemaattisesta näkökulmasta?"

En ole varma, vastatko kysymyksen tähän osaan jo riittävästi. Siksi: Kyllä - monimutkaisen matematiikan käytöllä sinimuotoisten signaalien kuvaamiseen ei ole suoraa fyysistä merkitystä. Se on vain "helpottaa analyysejä".

Esimerkkinä: Eulerin kuuluisan sinusignaalikaavan käyttöönotto Fourier-sarjassa johtaa negatiivisiin taajuuksiin (symmetrisesti positiivisiin taajuuksiin). Siksi herää kysymys: Onko negatiivisia taajuuksia todellisuudessa? Vastaus on ei! Se on vain hyödyllinen matemaattinen työkalu.

Tärkeintä on huomata, että mikä tahansa jaksollinen signaali (joillakin analyyttisillä perusrajoituksilla, jotka ovat joko käytännössä voimassa tai soveltuvat mielivaltaiseen määrään, ellei tarkalleen), voidaan esittää sini- ja kosini-signaalien summana taajuudella, joka on moninkertainen signaalin jaksosta.

Nyt kun poistut suoran vastauksen hallituskaudesta (kuten vastukset), energiaa voidaan varastoida ja hakea. Käämit varastoivat magneettista energiaa (käytä jännitettä ja virtaa vain vähitellen, mutta jatkuu, kun jännite hajoaa), kondensaattorit varastoivat sähköenergiaa (käytä virtaa ja jännite alkavat vain vähitellen, mutta jatkuvat, kun virta hajoaa), massat muuttavat voiman asteittain impulssiksi , jouset muuttavat impulssin vähitellen voimaksi ja niin edelleen.

Monet voimamuodot ovat pohjimmiltaan jonkin viritystoiminnan neliö. Nyt käy ilmi, että saman argumentin sini- ja kosinin neliöiden summa on 1. Vakio. Joten olet erittäin hyvä kuvaamaan energian jaksollista muuntamista sini- ja kosiniinkäytöllä.

Osoittautuu, että siinuksia ja kosinusineja käyttävä algebra on heikko. Jos lisäät kuvitteellisen termin, joka edustaa jaksollisen signaalin energiamuotoa, josta et ole kiinnostunut, ja heität pois minkä tahansa kuvitteellisen osan, joka on jäljellä, kun olet valmis, algebralliset manipulaatiot muuttuvat paljon suoraviivaisemmiksi todellisten muuttujien monimutkaisuuden kustannuksella. .

Oletetaan, että meillä on yksinkertainen piiri, jonka jännitelähde \ $ v (t) = Vcos (\ omega t + \ phi) \ $ on kytketty sarjaan induktiivisella kelalla induktanssilla \ $ L \ $. Sitten

$$ v (t) = Re \ {Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \} = L \ frac {di} {dt} \\ Re \ {Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \} \ dt = L \ di \\\ int Re \ {Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \} \ dt = L \ int \ di \\ Re \ {\ int Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \ dt \} = L i (t) \\ Re \ {\ frac {1} {j \ omega} Ve ^ {j ( \ omega t + \ phi)} \} = Li (t) \\ i (t) = Re \ {\ frac {1} {j \ omega L} Ve ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t } \} $$

Mitä tämä ostaa meille? Voimme yksinkertaisesti käsitellä kelaa vastuksena, jonka arvo on \ $ j \ omega L \ $. Sitten voimme korvata \ $ v (t) \ $ vakiona \ $ v_o = Ve ^ {j \ phi} \ $. Tässä yksinkertaistetussa piirissä käytämme ohmin lakia \ $ i_o = \ frac {v_o} {R} = \ frac {v_o} {j \ omega L} \ $. Sitten \ $ i (t) \ $ todellisen arvon löytämiseksi yksinkertaisesti kerrotaan \ $ i_o \ $ \ $ e ^ {j \ omega t} \ $: lla ja otetaan sen todellinen osa. Tämä voidaan laajentaa koskemaan kaikkia passiivisia komponentteja. Siksi voimme mallintaa kaikki vaihtelevat suuruudet kompleksiluvuilla, mikä yksinkertaistaa prosessin kaikkia laskelmia. Voimme sitten muuttaa ne takaisin monimutkaiseen muotoonsa aina kun tarvitsemme.

Oletan, että olemme samaa mieltä siitä, että ne ovat kaksi informaatiota, jotka edustavat AC-signaalia milloin tahansa, amplitudi ja vaihe, kun taas ne ovat vain DC: n amplitudia.

Tietojen käsittelyn lisäksi analyysin lisäksi meidän on tehtävä piirien suunnittelu . Komponenteilla on impedanssi ja vaikutus AC-signaaleihin. Joten suunnitellessamme meidän on kyettävä laskemaan impedanssit, jotta voidaan suunnitella piiri, jolla on erityiset vaihtovirtaominaisuudet.

Monimutkaiset luvut ovat käteviä edustamaan ja laskemaan sekä AC-signaaleja että impedanssia. Kahden ulottuvuuden, pituuden ja kulman, avulla voimme laskea amplitudin ja vaiheen yhdessä ja pitää ne yhtenäisinä.